2019高考数学统计概率精选大题解析理科
1·2015年11月27日至28日，中共中央扶贫开发工作会议在北京召开，为确保到2020年所有贫困地区和贫困人口一道迈入全面小康社会. 黄山市深入学习贯彻习近平总书记关于扶贫开发工作的重要论述及系列指示精神，认真落实省委、省政府一系列决策部署，精准扶贫、精准施策，各项政策措施落到实处，脱贫攻坚各项工作顺利推进，成效明显.贫困户杨老汉就是扶贫政策受益人之一.据了解，为了帮助杨老汉早日脱贫，负责杨老汉家的扶贫队长、扶贫副队长和帮扶责任人经常到他家走访,其中扶贫队长每天到杨老汉家走访的概率为
1 4，扶贫副队长每天到杨老汉家走访的概率为1
3
，帮扶责任人每天到杨老汉家走访的概率
为1
2
．
（1）求帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率；
（2）设扶贫队长、副队长、帮扶责任人三人某天到杨老汉家走访的人数为x，求x的分布列；
（3）杨老汉对三位帮扶人员非常满意，他对别人说:“他家平均每天至少有1人走访”，请问：他说的是真的吗？
2·已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲，乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示．
（1）将甲每天生产的次品数记为x（单位：件），日利润记为y（单位：元），写出y与x的函数关系式；
（2）如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率，记x表示甲、乙两名工人1天中各自日利润不少于1950元的人数之和，求随机变量x的分布列和数学期望．
3·某企业生产了一种新产品，在推广期邀请了100位客户试用该产品，每人一台．试用一个月之后进行回访，由客户先对产品性能作出“满意”或“不满意”的评价，再让客户决定是否购买该试用产品（不购买则可以免费退货，购买则仅需付成本价）．经统计，决定退货的客户人数是总人数的一半，“对性能满意”的客户比“对性能不满意”的客户多10人，“对性能不选择了退货．
满意”的客户中恰有2
3
（1）请完成下面的22 列联表，并判断是否有99%的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”．
（2）企业为了改进产品性能，现从“对性能不满意”的客户中按是否购买产品进行分层抽样，随机抽取6位客户进行座谈．座谈后安排了抽奖环节，共有6张奖券，其中一张印有900元字样，两张印有600元字样，三张印有300元字样，抽到奖券可获得相应奖金．6位客户每人随机抽取一张奖券（不放回），设6位客户中购买产品的客户人均所得奖金为x元，求x的分布列和数学期望．
附：
()
()()()()
2
2
n ad bc
k
a b c d a c b d
-
=
，其中n a b c d
= ．
4·北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km，共设13座车站．目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位:元）如下：
3
3
（1）在13座车站中任选两个不同的车站，求两站间票价不足5元的概率；
（2）甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车（二人可同站下车），记甲乙二人乘车购票花费之和为x元，求x的分布列；
（3）若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为ξ元；乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为η元．试比较ξ和η的方差dξ和dη大小．（结论不需要证明）
1·【答案】（1）
1
16
；（2）详见解析；（3）真的． 【解析】（1）设帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的事件为a ，则()11111
222216
p a =???=
，
∴帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率为
1
16
． （2）随机变量x 的所有可能取值为0，1，2，3． ()3211
04324
p x ==??=；
()12131132111
143243243224p x ==?? ?? ??=
； ()1111213111
24324324324p x ==?? ?? ??=；
()1111
343224
p x ==??=
． 随机变量x 的分布列为．
（3）()111113
242812
e x =
=，∴()1e x >，∴杨老汉说的是真的． 2·【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）∵甲每天生产的次品数为x ，∴损失30x 元， 则其生产的正品数为100x -，获得的利润为()20100x -元，
因而y 与x 的函数关系式为()2010030200050y x x x =--=-，其中04x ≤≤，x ∈n ． （2）同理，对于乙来说，200050y x =-，03x ≤≤，x ∈n ．由200050
1950
x -≥，得1x ≤，
∴x 是甲、乙1天中生产的次品数不超过1的人数之和，∴x 的可能值为0，1，2， 又甲1天中生产的次品数不超过1的概率为20403
1005
=， 乙1天中生产的次品数不超过1的概率为
302511
10020
=
， ∴()299052050p x ==?=，()39211491520520100p x ==? ?=，()31133
2520100
p x ==?=
，
∴随机变量x 的分布列为
∴()9493323
0125010010020
e x =?
? ?=
． 3·【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．
【解析】（1）设“对性能不满意”的客户中购买产品的人数为x ，则退货的人数为2x ，由此可列出下表
∵3103100x x =，∴15x
=； 填写22?列联表如下：
∴()2
210035301520100
9.091 6.63550504555
11
k ??-?=
=
≈>???． ∴有99%的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”．
（2）由题意知：参加座谈的购买产品的人数为2，退货的人数为4．x 的取值为：300，450，600，750，
()2
3
26
a 13005a p x ===，()112
232
2
6c c a 24505a p x ??===，
()112
2132
2
22
6
6c c a a 460015a a p x ??==
=，()112
122
26
c c a 275015a p x ??===， ∴x 的分布列为
∴()1242
300450600750500551515
e x =? ? ? ?=．∴购买产品的客户人均所得奖金的数
学期望为500元． 4·【答案】（1）()21
26
p a =
；（2）见解析；（3）d d ξη=． 【解析】（1）记两站间票价不足5元为事件a ，在13座车站中任选两个不同的车站，
基本事件总数为2
13
c 78=个，事件a 中基本事件数为781563-=．∴两站间票价不足5元的概率()2126
p a =
． （2）记甲乙花费金额分别为a 元，b 元．
x 的所有可能取值为6，7，8，9，10．
()()163,39p x p a b =====，()()()1
73,44,36p x p a b p a b ==== ===，
()()()()49
83,55,34,4144
p x p a b p a b p a b ==== == ===， ()()()595,44,524p x p a b p a b ==== ===
， ()()25105,5144
p x p a b =====． ∴x 的分布列为
（3）d d ξη=．