第十一单元 概率
k1 随事件的概率
18．k1，k6，k8[2016·全国卷ⅱ] 某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
(1)记a 为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求p (a )的估计值； (2)记b 为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求p (b )的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
18．解：(1)事件a 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50
200
＝0.55，故p (a )的估计值为0.55.
(2)事件b 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为
30＋30
200
＝0.3，故p (b )的估计值为0.3. (3)由所给数据得
调查的0．85a ×0.30＋a ×0.25＋1.25a ×0.15＋1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a . 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a .
k2 古典概型 3．k2[2016·全国卷ⅰ] 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
a.13
b.12
c.23
d.56
3．c [解析] 从4种颜色的花中任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花在一个花坛的种法有2种，故所求概率p ＝46＝23.
5．k2[2016·全国卷ⅲ] 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是m ，i ，n 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
a.815
b.18
c.115
d.130
5．c [解析] 由古典概型公式得所求概率p ＝1×13×5＝1
15
.
6．j2，k2[2016·北京卷] 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) a.15 b.25 c.825 d.925
6．b [解析] 甲被选中的概率为c 14
c 25＝25
.
7．k2、k4[2016·江苏卷] 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．
7.5
6
[解析] 本题为古典概型，基本事件共有36个，点数之和大于等于10的有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，6)，(6，5)，(6，4)，共计6个基本事件，故点数之和小于10的有30
个基本事件，所求概率为5
6
.
11．k2[2016·上海卷] 某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________．
11.1
6 [解析] 将四种水果每两种分为一组，有c 24＝6(种)方法，则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的概率为16
.
13．j1，k2[2016·四川卷] 从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________．
13.1
6 [解析] 由题意可知，(a ，b )可能的情况有(2，3)，(2，8)，(2，9)，(3，2)，(3，8)，(3，9)，(8，2)，(8，3)，(8，9)，(9，2)，(9，3)，(9，8)，共12种情况，其中只有(2，8)，(3，9)满足题意，故所求概率为212＝1
6
.
16．k2[2016·山东卷] 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图1-4所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域
中的数．设两次记录的数分别为x ，y .奖励规则如下：
①若xy ≤3，则奖励玩具一个； ②若xy ≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动． (1)求小亮获得玩具的概率；
(2)
16．解：用数对(x ，y )表示儿童参加活动时先后记录的数，则基本事件空间ω与点集s
＝{(x ，y )|x ∈n ，y ∈n ，1≤x ≤4，1≤y ≤4}一一对应．
因为s 中元素的个数是4×4＝16， 所以基本事件总数n ＝16. (1)记“xy ≤3”为事件a ，
则事件a 包含的基本事件共5个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，
所以p (a )＝516，即小亮获得玩具的概率为5
16
.
(2)记“xy ≥8”为事件b ，“3
则事件b 包含的基本事件共6个，即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，
所以p (b )＝616＝3
8
.
事件c 包含的基本事件共5个，
即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，
所以p (c )＝5
16
.
因为38>516
，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
04[2016·浙江卷] “计数原理与概率”模块
(1)已知(1＋2x )4(1－x 2)3＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，求a 2的值．
(2)设袋中共有8个球，其中3个白球、5个红球，从袋中随机取出3个球，求至少有1个白球的概率．
解：(1)因为(1＋2x )4二项展开式的通项为c r 4(2x )r
，r ＝0，1，2，3，4.
(1－x 2)3二项展开式的通项为c r 3(－x 2)r
，r ＝0，1，2，3.
所以a 2＝c 24·22·c 03＋c 04·c 1
3·(－1)＝21. (2)从袋中取出3个球，总的取法有c 38＝56(种)； 其中都是红球的取法有c 35＝10(种)．
因此，从袋中取出3个球至少有1个白球的概率是 1－c 35
c 38＝2328.
k3 几何概型 8．k3[2016·全国卷ⅱ] 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
a.710
b.58
c.38
d.310
8．b [解析] 至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝5
8
.
k4 互斥事件有一个发生的概率
2．k4[2016·天津卷] 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，
则甲不输的概率为( )
a.56
b.2
5
c.16
d.13
2．a [解析] 甲不输的概率p ＝13＋12＝56
.
7．k2、k4[2016·江苏卷] 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．
7.5
6
[解析] 本题为古典概型，基本事件共有36个，点数之和大于等于10的有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，6)，(6，5)，(6，4)，共计6个基本事件，故点数之和小于10的有30
个基本事件，所求概率为5
6
.
19．b1，i2，k4[2016·全国卷ⅰ] 某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
图1-5
记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数．
(1)若n ＝19，求y 与x 的函数解析式；
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
19．解：(1)当x ≤19时，y ＝3800；
当x >19时，y ＝3800＋500(x －19)＝500x －5700. 所以y 与x 的函数解析式为
y ＝?
????3800，x ≤19，500x －5700，x >19(x ∈n )． (2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故
n 的最小值为19.
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易
损零件上的费用为3800元，20台的费用为4300元，10台的费用为4800元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
1
100
×(3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000(元)． 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000元，10台的费用为4500元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
1
100
×(4000×90＋4500×10)＝4050(元)． 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．
k5 相互对立事件同时发生的概率 k6 离散型随机变量及其分布列 18．k1，k6，k8[2016·全国卷ⅱ] 某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种
(1)记a 为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求p (a )的估计值； (2)记b 为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求p (b )的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
18．解：(1)事件a 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50
200
＝0.55，故p (a )的估计值为0.55.
(2)事件b 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为
30＋30
200
＝0.3，故p (b )的估计值为0.3. (3)由所给数据得
调查的0．85a ×0.30＋a ×0.25＋1.25a ×0.15＋1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a . 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a .
k7 条件概率与事件的独立性
k8 离散型随机变量的数字特征与正态分布 18．k1，k6，k8[2016·全国卷ⅱ] 某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种
(1)记a (2)记b 为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求p (b )的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
18．解：(1)事件a 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50
200
＝0.55，故p (a )的估计值为0.55.
(2)事件b 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为
30＋30
200
＝0.3，故p (b )的估计值为0.3. (3)由所给数据得
调查的200名续保人的平均保费为
0．85a ×0.30＋a ×0.25＋1.25a ×0.15＋1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a . 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a .