太 原 五 中
2012—2013学年度第一学期月考（10月）
高 二 数 学（理）
一、选择题：本大题共10小题．每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．答案填在答卷纸上. 1.在空间，下列命题正确的是
a.平行直线的平行投影重合
b.平行于同一直线的两个平面平行
c.垂直于同一平面的两个平面平行
d.垂直于同一平面的两条直线平行
2.如右图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那
么几何体的侧面积为
a ． 12
π b.
2 c. 4
d.4π
3．已知m 、n 为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的命题个数是 ①n m n m //,,,//则βαβα??； ②若βαββαα//,//,//,,则且n m n m ??
③βαβα⊥?⊥m m 则若,,； ④βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n m
a ．1
b ．2
c ．3
d ．4
4.一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图中△abc 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为
a ．12
b ．
32 c ．2
3 d ．6
5.在正三棱锥中，相邻两侧面所成二面角的取值范围
是
a ．3
π
π（，） b ．
23ππ（，） c ．（0，2
π
） d ．23ππ（，）3
6.如图，abcd -a
1b 1c 1d 1为正方体，下面结论错误．．
的是
a ．bd ∥平面c
b 1d 1 b ．a
c 1⊥bd
c ．ac 1⊥平面cb 1
d 1 d ．异面直线ad 与cb 1角为60°
7.已知正四棱锥s abcd -的侧棱长与底面边长都相等，e 是sb 的中点，则ae sd ，所成的角的余弦值为 a ．
1
3
b
．
3
c
．
3
d ．
23
8.如图在正三棱锥a-bcd 中， e 、f 分别是ab 、bc 的中点，ef
⊥de ,且bc =1，则正三棱锥a-bcd 的体积是
24
3d. 123c. 242b. 122.
a 9.一个几何体的三视图及长度数据如图， 则该几何体的表面积与体积分别为
a
、7 b
、8 c
、372 d
、3
82
10.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 a ．
4
3
3 b ．33 c ． 43 d ．123
二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案
填在答卷纸上.
11.已知点g 是△abc 的重心，o 是空间任一点，若oa → ob → oc →= mog →
,则实数m= . 12.若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 13.一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体外接球的表面积为
14.如图，设a 是棱长为a 的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为2
3a ；⑤体积为
3
6
5a ．其中正确的结论是____________．（要求填上所有正确结论的序号）
太 原 五 中
2012—2013学年度第一学期月考（10月）
高二数学答卷纸（理）
11. ；12. ； 13. ； 14. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分10分）
如图，在三棱锥p abc
-中，pa ⊥底面
,,60,a b c p a a b a b c b c a
?
?
=∠=
∠=， 点d ，e 分别在棱
,
pb pc上，且//
de bc
（ⅰ）求证：bc⊥平面pac；
（ⅱ）当d为pb的中点时，求ad与平面pac所成的角的正弦值；
16.(本小题10分)如图，已知平行四边形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，
2
,1=
=ad ab，
,
600=
=
∠af adc
（1）求证：ac⊥bf；
（2）求点a到平面fbd的距离
17.(本题满分10分)
如图，四棱锥p-abcd中，pa⊥平面abcd，pa＝ab＝bc＝2，e为pa的中点，过e作平行于底面的平面efgh，分别与另外三条侧棱相交于点f、g、h.已知底面abcd为直角梯形，ad∥bc，ab⊥ad，∠bcd=135°.
（1） 求异面直线af 与bg 所成的角的大小；
（2） 求平面apb 与平面cpd 所成的锐二面角的余弦值
18. （本小题满分12分）
如图,在梯形abcd 中,ab ∥cd ,a cb dc ad ===,
60=∠abc ,平面⊥acfe 平
面abcd ,四边形acfe 是矩形,a ae =,点m 在线段ef 上. (1)求证:平面bcf ⊥平面acfe;
(2)当em 为何值时,am ∥平面bdf ?证明你的结论;
m f
e
c
d b
a
19.(本小题12分)如图， p 、o 分别是正四棱柱1111abcd a b c d -上、下底面的中 心，e 是ab 的中点，
1ab kaa =.
（ⅰ）求证：1a e ∥平面pbc ；
（ⅱ当k 取何值时，o 在平面pbc 内的射影恰好为pbc ?的重心?
a 1
1
c
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2012—2013学年度月考
高二数学答案
一、选择题 （每小题3分）
二、填空题（每小题4分） 11. 3 ；12.
π3
3
； 13. 316π ； 14. ①②⑤ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分10分）
如图，在三棱锥p abc -中，pa ⊥底面,,60,90abc pa ab abc bca ??=∠=∠=， 点d ，e 分别在棱,pb pc 上，且//de bc （ⅰ）求证：bc ⊥平面pac ；
（ⅱ）当d 为pb 的中点时，求ad 与平面pac 所成的角的正弦值； 【解法1】（ⅰ）∵pa ⊥底面abc ，∴pa⊥bc .
又90bca ?
∠=，∴ac ⊥bc .
∴bc⊥平面pac.
（ⅱ）∵d 为pb 的中点，de//bc ，
∴1
2
de bc =
， 又由（ⅰ）知，bc⊥平面pac ，
∴de⊥平面pac ，垂足为点e.
∴∠dae 是ad 与平面pac 所成的角， ∵pa ⊥底面abc ，∴pa⊥ab，又pa=ab ， ∴△abp
为等腰直角三角形，∴ad ab =
， ∴在rt△abc 中，60abc ?
∠=，∴1
2
bc ab =
. ∴在rt△a de
中，sin 24
de bc dae ad ad ∠=
==
， ∴ad 与平面pac 所成的角的正弦值为
4
2
【解法2】如图，以a 为原煤点建立空间直角坐标系a xyz -， 设pa a =，由已知可得 (
)()10,0,0,,,0,0,,0,0,0,222a b a c p a ????-
? ? ? ?????
. （ⅰ）∵()10,0,,,0,02ap a bc a ??
== ???
，
∴0bc ap ?=
，∴bc⊥ap .
又∵90bca ?
∠=，∴bc⊥a c ，∴bc⊥平面pac. （ⅱ）∵d 为pb 的中点，de//bc ，∴e 为pc 的中点，
∴111,,,0,,44242d a a a e a a ????
- ? ? ? ?????
， ∴又由（ⅰ）知，bc⊥平面pac ，∴∴de⊥平面pac ，垂足为点e. ∴∠dae 是ad 与平面pac 所成的角，
∵111,,,422ad a a ae a ????
=-= ? ? ? ????? ，
∴cos 4ad ae dae ad ae
?∠==
? .
∴ad 与平面pac 所成的角的正弦值为
4
2 16.(本题满分10分)
如图，已知平行四边形abcd 和矩形acef 所在的平面互相垂直，2,1==ad ab ，
3,600==∠af adc .
（1）求证：ac ⊥bf ；
（2）求点a 到平面fbd 的距离.
解法1：由2,1==ad ab ,600==∠af adc 得3=ca ,故ad 2=ac 2 cd 2，,,所以cd ⊥ca
以cd 为x 轴,ca 为y 轴,以ce 为z 轴建立空间坐标系， （1）c(0,0,0),d(1,0,0),a(0,3,0),f(0, 3,3),b(-1,3,0),
()0,3,0=,()
3,0,1=, ,bf ac ⊥=?,0
（2）),,(),1,0,0(z y x fbd n ==的法向量平面,()3,0,1=()
3,3,1-=
由⊥,⊥可得()
1,2,3--=, 点a 到平面fbd 的距离为d, )0,3,1(
-=ad
4632
233
==
=
d 46
解法2 ：（1）由2,1==ad ab ,600==∠af adc 得3=ca ,故bc 2=ac 2 ab 2，,,所以ac ⊥ab
因为acef 是矩形，ac ⊥af ，所以ac ⊥平面abf,故ac ⊥bf
（2）由abd f fbd a v v --=，得=?=
fbd
abd s s af d 46
17. (本题满分10分)如图，四棱锥p -abcd 中，pa ⊥平面abcd ，pa ＝ab ＝bc ＝2，e 为pa 的中点，过e 作平行于底面的平面efgh ，分别与另外三条侧棱相交于点f 、g 、h. 已知底面abcd 为直角梯形，ad ∥bc ，ab ⊥ad ，∠bcd =135°. （3） 求异面直线af 与bg 所成的角的大小；
（4） 求平面apb 与平面cpd 所成的锐二面角的余弦值. （5） 解 由题意可知：ap 、ad 、ab 两两垂直，可建立空
间直角坐标系a -xyz
由平面几何知识知：ad ＝4, d (0, 4, 0), b (2 , 0 , 0 ), c ( 2, 2, 0 ), p (0, 0, 2), e (0, 0, 1), f (1 ,0, 1), g (1 ,1 ,1) (1)af
→＝(1,0,1),bg →＝(－1,1,1) ∴af →·bg
→＝0， ∴af 与bg 所成角为π
2 . (2) 可证明ad ⊥平面apb ， ∴平面apb 的法向量为n ＝(0,1,0) 设平面cpd 的法向量为m ＝(1，y ，z)
由00
m cd m pd ?=??=?? ? ???y ＝1z ＝2 故m ＝(1,1,2)
∵cos
∴平面apb 与平面cpd 所成的锐二面角的余弦值为66.
18. （本小题满分10分）
如图,在梯形abcd 中,ab ∥cd ,a cb dc ad ===,
60=∠abc ,平面⊥acfe 平
面abcd ,四边形acfe 是矩形,a ae =,点m 在线段ef 上. (1)求证:平面bcf ⊥平面acfe;
(2)当em 为何值时,am ∥平面bdf ?证明你的结论;
m f
e
c
（ⅰ）在梯形abcd 中，cd ab // ，
?=∠===60,abc a cb dc ad ∴四边形abcd 是等腰梯形，
且?
?=∠=∠=∠120,30dcb dac dca
?=∠-∠=∠∴90dca dcb acb bc ac ⊥∴
又 平面⊥acfe 平面abcd ，交线为ac ，
⊥∴bc 平面acfe
∴平面bcf ⊥平面acfe; （ⅱ）解法一、当a em 3
3
=
时，//am 平面bdf ， 在梯形a b c d 中
，设n bd ac =?，连接fn
，则2:1:=na cn
a em 3
3
=
，而a ac ef 3==2:1:=∴mf em ， an mf //∴，∴四边形anfm 是平行四边形，nf am //∴ 又?nf 平面bdf ，?am 平面bdf //am ∴平面bdf 解法二：当a em 3
3
=
时，//am 平面bdf ，
由（ⅰ）知，以点c 为原点，cf cb ca ,,所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
则)0,0,0(c ，)0,,0(a b ，)0,0,3(a a ，)0,21
,23(a a d -，
),0,0(a f ，),0,3(a a e ?am 平面bdf ，
∴//am 平面bdf ?→
am 与→
fb 、→
fd 共面，
也等价于存在实数m 、n ，使→
→
→
=fd n fb m am ， 设→
→
=ef t em .
)0,0,3(a ef -=→
，)0,0,3(at em -=→
),0,3(a at em ae am -= =∴→
→
→
b
又),2
1
,23(a a a fd --=→
，),,0(a a fb -=→，
从而要使得：),2
1
,23(
),,0(),0,3(a a a n a a m a at -- -=-成立， 需???
?
?
?
?
??--=-==-an am a an m a an at 21023
3，解得31=t
∴当a em 3
3
=
时，//am 平面bdf 18.(本小题12分)
19.(本小题12分)如图， p 、o 分别是正四棱柱1
abcd a -心，e 是ab 的中点，1ab kaa =. （ⅰ）求证：1a e ∥平面pbc ；
（ⅱ当k 取何值时，o 在平面pbc 内的射影恰好为pbc ?
以点o 为原点，直线oa ob op 、、所在直线分别为x y z 、、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设ab =
则得1a 、(1,1,0)e 、(0,p 、(0,2,0)b 、(c (ⅰ)证明 由上得1(1,1,a e =- 、(2,2,0)bc =-- 、 (0,2,pb = ，设1a e x bc y pb =? ? 得
(1,1,(2,2,0)(0,2,x y -=?-- ? 解得1
12x y ==，， ∴112a e bc pb =
bc pb b ?= ，1a e pbc ?平面 ∴1a e ∥平面pbc
（ⅱ）解 由(ⅰ)知pbc ?的重心g 为22,33?- ??
，则22(,33og =- ，
a 1
1
c
若o在平面pbc内的射影恰好为pbc
?的重心，则有
og bc
og pb
??=
?
?
?=
??
，解得k=
∴当k=o在平面pbc内的射影恰好为pbc
?的重心.