概率与统计专项练习
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．[2019·山东滨州模考]若复数(1－a i)2
－2i 是纯虚数，则实数a ＝( ) a ．0 b ．±1 c ．1 d ．－1 答案：c
解析：(1－a i)2
－2i ＝1－a 2
－2a i －2i ＝1－a 2－(2a ＋2)i.
∵(1－a i)2
－2i 是纯虚数，∴?
??
??
1－a 2
＝0，2a ＋2≠0，解得a ＝1，故选c.
2．[2019·广东广州执信中学测试]从某社区65户高收入家庭，280户中等收入家庭，105户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某一项指标，应采用的最佳抽样方法是( )
a ．系统抽样
b ．分层抽样
c ．简单随机抽样
d ．各种方法均可 答案：b
解析：因为社会购买力的某一项指标受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以应采用分层抽样的方法，故选b.
3．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3
＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
a ．方程x 3
＋ax ＋b ＝0没有实根 b ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 c ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 d ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 答案：a
解析：因为“方程x 3
＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3
＋ax ＋b ＝0的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是“方程x 3
＋ax ＋b ＝0没有实根”．
4．[2019·山东烟台模拟]将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽到的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第ⅰ营区，从301到495在第ⅱ营区，从496到600在第ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )
a ．26,16,8
b ．25,17,8
c ．25,16,9
d ．24,17,9 答案：b
解析：由题意知间隔为600
50＝12，故抽到的号码为12k ＋3(k ＝0,1，…，49)，列出不等
式可解得：第ⅰ营区抽25人，第ⅱ营区抽17人，第ⅲ营区抽8人．
5．[2019·重庆市学业质量调研]甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是( )
a ．甲
b ．乙
c ．丙
d ．丁 答案：d
解析：假设获奖的同学是甲，则甲、乙、丙、丁四位同学的话都不对，因此甲不是获奖的同学；假设获奖的同学是乙，则甲、乙、丁的话都对，因此乙也不是获奖的同学；假设获奖的同学是丙，则甲和丙的话都对，因此丙也不是获奖的同学．从前面推理可得丁为获奖的同学，此时只有乙的话是对的，故选d.
6．[2019·重庆巴蜀中学一模]执行如图所示的程序框图，若输入的a 为24，c 为5，输出的数为3，则输入的b 有可能为( )
a ．11
b ．12
c ．13
d ．14 答案：b
解析：结合程序框图，若输出的数为3，则经过循环之后的b ＝a ＋3＝27，由27÷5＝5……2，并结合循环结构的特点可得，输入的b 除以5的余数为2，结合选项可得，b 有可能为12，故选b.
7．[2019·福建泉州泉港一中模考]若1路、2路公交车的站点均包括泉港一中，且1路公交车每10分钟一趟，2路公交车每20分钟一趟，则某学生去坐这2趟公交车回家，等车不超过5分钟的概率是( )
a.18
b.35
c.58
d.78
答案：c 解析：
设1路公交车到达的时间为x,2路公交车到达的时间为y .(x ，y )可以看成平面上的点，则可设ω＝{(x ，y )|0≤x ≤10且0≤y ≤20}，表示的是一个长方形区域，如图，其面积s ＝10×20＝200.若某学生等车时间不超过5分钟，则其构成的平面区域为图中的阴影部分，面积s ′＝125，故所求概率p ＝
s ′s ＝125200＝5
8
，故选c. 8．[2019·东莞测试]为了解工厂的1 000名工人的生产情况，从中抽取100名工人进行统计，得到如下频率分布直方图，由此可估计该工厂产量在75件以上(含75件)的工人数为( )
a ．50
b ．100
c ．150
d ．250 答案：c
解析：根据频率分布直方图可知工厂产量在75件以上的频率为0.010×10＋0.005×10＝0.15，
∴工人数为1 000×0.15＝150，故选c.
9．从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲、乙两组数据的平均数分别为x －甲、x －
乙，中位数分别为m 甲、
m 乙，则( )
a.x －甲
乙，m 甲>m 乙 b.x －甲
乙，m 甲
乙，m 甲>m 乙 d.x －甲>x －
乙，m 甲
解析：由茎叶图知m 甲＝22＋182＝20，m 乙＝27＋312＝29，所以m 甲
甲＝116(41＋
43＋30＋30＋38＋22＋25＋27＋10＋10＋14＋18＋18＋5＋6＋8)＝345
16
，
x －
乙＝116(42＋43＋48＋31＋32＋34＋34＋38＋20＋22＋23＋23＋27＋10＋12＋18)＝
45716
，所以x －甲
月份x 2 3 4 5 6 销售额y /万元
15.1
16.3
17.0
17.2
18.4
根据上表可得到回归方程y ＝0.75x ＋a ，据此估计，该公司7月份这种型号的产品的销售额为( )
a ．19.5万元
b ．19.25万元
c ．19.15万元
d ．19.05万元 答案：d
解析：由题意可得x －＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y －＝15.1＋16.3＋17.0＋17.2＋18.4
5
＝16.8，
∴由回归直线恒过点(x －，y －)，得16.8＝0.75×4＋a ^，解得a ^＝13.8，∴当x ＝7时，y ^
＝0.75×7＋13.8＝19.05，故选d.
11．[2019·四川内江一模]如图是某部门统计的某年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上一年同期平均价格的变化幅度的数据统计图，根据统计图，下面叙述不正确的是( )
a ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高
b ．深圳和厦门的平均价格同上一年相比有所下降
c ．平均价格从高到低排列，居于前三位的城市为北京、深圳、广州
d ．平均价格的涨幅从高到低排列，居于前三位的城市为天津、西安、厦门 答案：d
解析：由图可知，选项a ，b ，c 都正确，对于d ，因为要判断涨幅从高到低排列的前三位，而不是判断变化幅度从高到低排列的前三位，所以错误．故选d.
12．[2019·福建永春调研]在平面几何里有射影定理：设三角形abc 的两边ab ⊥ac ，d 是a 点在bc 上的射影，则ab 2
＝bd ·bc .拓展到空间，在四面体abcd 中，ad ⊥平面abc ，点
o 是a 在平面bcd 内的射影，且o 在△bcd 内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论
是( )
a ．s 2
△abc ＝s △bco ·s △bcd b ．s 2△abd ＝s △bod ·s △boc c ．s 2△adc ＝s △doc ·s △boc d ．s 2△bdc ＝s △abd ·s △abc 答案：a 解析：
由已知，在平面几何中，若△abc 中，ab ⊥ac ，ad ⊥bc ，d 是垂足，则ab 2
＝bd ·bc .可以类比这一性质，推理出：若三棱锥d －abc 中，ad ⊥平面abc ，ao ⊥平面bcd ，o 为垂足，如图所示，则s 2
△abc ＝s △bco ·s △bcd .故选a.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．[2017·江苏卷]某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．
答案：18
解析：∵ 样本容量总体个数＝60200＋400＋300＋100＝3
50，
∴ 应从丙种型号的产品中抽取3
50
×300＝18(件)．
14．[2019·江苏苏锡常镇调研]假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现从500支疫苗中抽取50支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500支疫苗按000,001，…，499进行骗号，如果从随机数表第7行、第8列的数开始向右读(每三个连续数字组成一个编号)，请写出第3支疫苗的编号________．
(下面摘取了随机数表第7行至第9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 答案：068
解析：由题意，知从第7行、第8列开始向右读取，得到的疫苗的编号依次为331,455,068，……所以第3支疫苗的编号为068.
15．[2019·江西上饶市民校联盟阶段测试]如果数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，方差为82
，则5x 1＋2,5x 2＋2，…，5x n ＋2的方差为________．
答案：1 600
解析：∵数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，方差为82
，∴5x 1＋2,5x 2＋2，…，5x n ＋2的平均数为5x －＋2，方差为25×82
＝1 600.
16．[2019·东北三省四市教研联合体高考模拟试卷(一)]为了解天气转冷时期居民电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出的回归方程为y ^
＝－2.11x ＋61.13，现表中一个数据被污损，则被污损的数据为________．(结果保留整数)
答案：38
解析：x －＝18＋13＋10－14＝10，代入回归方程y ^＝－2.11x ＋61.13得y －＝40.03，设污
损的数据为a ，则24＋34＋a ＋64＝4×40.03，得a ＝38.12≈38.