历年高考新课标ⅰ卷试题分类汇编—概率与统计
1、(2012年第19题)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。
（ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n ∈n ）的函数解析式。
（ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数
10
20
16
16
15
13
10
(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；
(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率。
2、(2013年第3题) 从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ b ） （a ）错误!未找到引用源。 （b ）错误!未找到引用源。 （c ）1
4
错误!未找到引用源。（d ）
16
3、(2013年第19题) 为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为a 药，b 药）的疗效，随机地选取20位患者服用a 药，20位患者服用b 药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h ），试验的观测结果如下：
服用a 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用b 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 （1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ （2）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
4、(2014
年第13题
) 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．
5、(2014年第19题) 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
（i）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
（ii）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（iii）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
质量指标值分组[75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125) 频数 6 26 38 22 8
解：（1）频率分布直方图如图所示：
（2）质量指标的样本平均数为=80×0.06 90×0.26 100×0.38 110×0.22 120×0.08=100，
质量指标的样本的方差为s 2=（﹣20）2×0.06 （﹣10）2×0.26 0×0.38 102×0.22 202×0.08=104， 这种产品质量指标的平均数的估计值为100，方差的估计值为104．
（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38 0.22 0.08=0.68，
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．
6、（2015年第4题）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ c ）
（a ）
310 （b ）15 （c ）110 （d ）1
20
7、（2015年第19题）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()
1,2,,8i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
（i ）根据散点图判断，y a bx = 与y c x = ，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（ii ）根据（i ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（iii ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =- ，根据（ii ）的结果回答下列问题： （i ）当年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（ii ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
解：（i ）由散点图可以判断，x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程式类型. （ii ）令w x =
y 关于w 的线性回归方程式.由于
2
8
1
8
1
()()
108.8
d=
681.6
()
i
i
i i
i w w y y w w ==--=
=-∑∑, 56368 6.8100.6c y d w =-=-?=，
所以y 关于w 的线性回归方程为y=100.668w ,因此y 关于x 的回归方程为y 100.668x = （ⅲ）（i ）由（ii ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值y 100.66849=576.6= ， 年利润z 的预报值 z=576.60.24966.32?-= ……9分 （ii ）根据（ii ）的结果知，年利润z 的预报值 .
13.6
=6.82
x =
，即x =46.24时，z 取得最大值.z=0.2(100.6 68=-13.620.12x x x x 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. ……12分
8、（2016年第3题）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下
的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( c )
a ．
13 b ．12 c ．2
3
d ．56 9、（2016年第19题）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单
位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数. （i ）若n =19，求y 与x 的函数解析式；
（ii ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；
（iii ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
（ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n 的最小值为19.
（ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
1
(380070430020480010)
4000100
.
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000，10台的费用为4500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
4050)104500904000(100
1
=? ?.比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件. 10、（2017年第2题）为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出学.科.网的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ b ） a ．x 1，x 2，…，x n 的平均数 b ．x 1，x 2，…，x n 的标准差 c ．x 1，x 2，…，x n 的最大值
d ．x 1，x 2，…，x n 的中位数
11、（2017年第4题）如图，正方形abcd 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，学 科&网则此点取自黑色部分的概率是（ b ）
a ．
1
4
b ．
π8
c ．
12
d ．π 4
12、（2017年第19题）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随
机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7
8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序
9
10 11
12
13 14
15
16 零件尺寸 10.26 9.91
10.13 10.02 9.22
10.04 10.05
9.95
经计算得16119.9716i i x x ===∑，1616222
11
11()(16)0.2121616i i
i i s x x x x ===-=-≈∑∑，16
2
1
(8.5)
18.439i i =-≈∑，16
1
()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，
其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =???． （1）求(,)i x i (1,2,,16)i =???的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s - 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）从这一天抽检的结果看，学.科网是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在(3,3)x s x s - 之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）
附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =???的相关系数1
2
2
1
1
()()
()()
n
i
i
i n n
i
i
i i x x y y r x x y y ===--=
--∑∑∑，0.0080.09≈．
（ii ） 剔除9.22，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为
169.22169.979.22
10.021515
x -?-== ，标准
差为()1622
11[(10.02)9.2210.2]0.0080.0916i i s x ==---==∑()2
21610.029.220.0115
s --≈
13、（2018年第3题）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地
了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：（ a ）
则下面结论中不正确的是
a ．新农村建设后，种植收入减少
b ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
c ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
d ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
14、（2018年第19题）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [)00.1，
[)0.10.2， [)0.20.3， [)0.30.4， [)0.40.5， [)0.50.6， [)0.60.7，
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [)00.1，
[)0.10.2，
[)0.20.3，
[)0.30.4，
[)0.40.5，
[)0.50.6，
频数
1
5
13
10
16
5
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图： （2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m 3的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
解：（1）如图（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m 3的频率为
0.2×0.1 1×0.1 2.6×0.1 2×0.05=0.48，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m 3的概率的估计值为0.48． （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
11
(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.4850
x =
? ? ? ? ? ? ?=． 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
21
(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550
x =
? ? ? ? ? ?=． 估计使用节水龙头后，一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m )-?=．
15、（2019年第6题）某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ c ） a ．8号学生
b ．200号学生
c ．616号学生
d ．815号学生
16、（2019年第17题）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客
30
20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：2
2
()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -= ．
p （k 2≥k ）
0.050 0.010 0.001 k
3.841
6.635
10.828
解析 （1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为40
0.850
=，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为30
0.650
=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．
（2）2
2
100(40203010) 4.76250507030
k ??-?=
≈???． 由于4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
17、（2020年第4题）设o 为正方形abcd 的中心，在o ，a ，b ，c ，d 中任取3点，则取到的3点共线
的概率为（ a ）
a ．15
b ．25
c ．12
d ．
4
5
【解析】如图，从o a b c d ,,,,5个点中任取3个有：{,,},{,,},{,,},{,,}o a b o a c o a d o b c ，
{,,},{,,},{,,},{,,}o b d o c d a b c a b d ，{,,},{,,}a c d b c d 共10种不同取法，3点共线只有
{,,}a o c 与{,,}b o d 共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为
21105
=.
18、（2020年第5题）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，
在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,
,20)i i x y i =得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ d ）
a ．y a bx =
b ．2y a bx =
c ．e x y a b =
d ．ln y a b x =
【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x = .
19、（2020年第17题）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为a ，b ，c ，d
四个等级.加工业务约定：对于a 级品、b 级品、c 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于d 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为a 级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?
【解析】（1）由试加工产品等级的频数分布表知， 甲分厂加工出来的一件产品为a 级品的概率的估计值为40
0.4100=； 乙分厂加工出来的一件产品为a 级品的概率的估计值为
28
0.28100
=. （2）由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为
654025205207520
15100
? ?-?-?=.
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为
702830170347021
10100
? ? ?-?=.
比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.